En el sistema de coordenadas esféricas, la posición de un punto se determina por tres magnitudes:
- r - distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto
- θ (teta) - ángulo entre el vector y el eje z
- φ (fi) - ángulo entre la proyección del vector en el plano xy y el eje x
Ventajas del sistema estándar
1. Intuición geométrica
Al girar alrededor del eje z (cambiando φ) el vector de posición describe una circunferencia en el plano horizontal. Esto corresponde a nuestra intuición sobre la rotación y hace que el sistema sea natural para describir movimientos rotacionales.
2. Jacobiano simple de la transformación
El elemento de volumen en coordenadas esféricas tiene la forma:
dV = r² sin(θ) dr dθ dφ
El factor sin(θ) tiene un significado geométrico claro: tiene en cuenta la disminución de la longitud de las paralelas (circunferencias de θ constante) al acercarse al eje z.
3. Relación con las coordenadas geográficas
En el sistema actual:
- φ corresponde a la longitud
- π/2 - θ corresponde a la latitud
Esto hace que el sistema sea especialmente conveniente para tareas de navegación y mecánica celeste.
¿Qué ocurriría con definiciones alternativas?
Variante 1: Ambos ángulos como ángulos con los ejes
Si se definen los ángulos α (con el eje x) y β (con el eje z), entonces:
- Los ángulos se volverían dependientes - no podrían tomar valores arbitrarios de forma independiente
- El jacobiano de la transformación se complicaría significativamente
- Se perdería la relación simple con las coordenadas cilíndricas
Variante 2: Ambos ángulos después de la proyección
Con esa definición surgirían problemas:
- Se perdería la unicidad en la descripción de los puntos
- Se complicaría la descripción del movimiento sobre la superficie de la esfera
- Las fórmulas de transformación de coordenadas serían más engorrosas
Conclusión
La asimetría en la definición de los ángulos del sistema de coordenadas esféricas no es una deficiencia, sino una solución pensada que hace que el sistema sea lo más útil posible para la aplicación práctica. Esto se aprecia especialmente en problemas con un eje destacado (por ejemplo, el eje de rotación de un planeta) y cuando es necesario calcular integrales en coordenadas esféricas.
