La paradoja de Banach–Tarski figura entre los teoremas más enigmáticos y controvertidos de las matemáticas. Afirma que cualquier bola puede dividirse en varias partes y, tras "recomponerlas" ligeramente, obtener dos bolas iguales a la original. A primera vista, suena a magia o, como mínimo, a una violación de las leyes físicas. Vamos a ver en qué consiste esta paradoja y por qué no se puede reproducir en el mundo real.
¿Qué es la paradoja de Banach–Tarski?
En 1924 los matemáticos Stefan Banach y Alfred Tarski demostraron que se puede tomar una bola tridimensional, dividirla en un número finito de partes (bajo ciertas condiciones matemáticas) y a partir de esas partes ensamblar dos bolas idénticas, cada una con un volumen igual al original. Parece increíble, pero la paradoja se apoya en la teoría de conjuntos y en los axiomas de la matemática moderna, por lo que no contradice su lógica interna.
¿Cómo funciona?
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Conjunto infinito no numerable de puntos
La base de la paradoja es la idea de que una bola tridimensional está formada por un número infinito de puntos, y que es posible agruparlos y transformarlos de modo que, después de esas operaciones, obtengamos dos bolas "completas". -
División en piezas inconcebibles
Aquí reside el punto clave de la paradoja: no exige una partición "razonable" de la bola. Las partes en que hay que dividir el objeto son tan complejas e "inconcebibles" que resulta difícil describirlas en el sentido clásico de la geometría. Esta fragmentación se rige por las reglas de la teoría de conjuntos, por lo que resulta casi incomprensible para nuestra intuición. A estas partes se las denomina "no numerables" o "no constructivas". -
Traslaciones y rotaciones
Una vez que hemos dividido la bola en esas partes extrañas, es necesario trasladarlas y rotarlas. No son movimientos ordinarios: se basan en transformaciones que pueden definirse matemáticamente, pero que son imposibles de realizar en la realidad. Complejas "rotaciones" y "permutaciones" nos permiten obtener dos nuevas bolas. -
Un truco matemático, no una realidad física
A primera vista podría parecer que si pudiéramos dividir una bola y ensamblar dos, se abriría la posibilidad de duplicar masa o energía indefinidamente. Pero la realidad impone límites estrictos. La paradoja existe únicamente en la teoría matemática, que asume una divisibilidad ideal hasta el infinito y conjuntos infinitos de puntos.
¿Por qué no funciona en la vida real?
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Estructura atómica de la materia
En el mundo real todos los objetos están formados por átomos, y no podemos dividirlos hasta el infinito. Los átomos no permiten que la materia se fragmente como supone el teorema de Banach–Tarski, y no es posible fabricar dos bolas a partir de una en nuestro mundo físico. -
Axiomas lógicos y paradojas
La paradoja se construye sobre axiomas de la teoría de conjuntos, como el axioma de elección. Este axioma sostiene que si tenemos una colección de conjuntos disjuntos podemos escoger un elemento de cada uno, incluso si no sabemos cómo hacerlo. Aunque está ampliamente aceptado, genera debate, y sin él la paradoja de Banach–Tarski pierde su fuerza.
¿Por qué es importante?
La paradoja de Banach–Tarski no es solo un "truco", sino una clave para entender los cimientos profundos de la matemática. Demuestra que nuestras nociones de volumen, masa y espacio dependen de los axiomas sobre los que se construye la teoría de conjuntos, y hasta qué punto algunas construcciones matemáticas no son aplicables al mundo real. Esta paradoja impulsa a matemáticos y filósofos a reflexionar sobre los límites entre la matemática abstracta y la realidad física, mostrando que nuestra lógica e intuición a veces son insuficientes frente al universo de las abstracciones.
Entonces, ¿podemos hacer dos bolas a partir de una?
Teóricamente sí, pero solo en el mundo de las abstracciones matemáticas, no en la realidad.
