Imagínese: está al borde de un túnel perfectamente circular que, por alguna extraña coincidencia, atraviesa exactamente el centro de la Tierra y sale al otro lado del planeta. Tal vez en Australia —aunque geográficamente no es exacto, no entremos en detalles. La pregunta principal: ¿qué ocurriría si se lanzara?
Este problema es uno de los experimentos mentales favoritos de los físicos. Y aunque en la realidad no es posible construir tal túnel, las matemáticas nos dirán con precisión qué ocurriría en condiciones ideales. Spoiler: el resultado es mucho más elegante de lo que cabría esperar.
Supuestos físicos fundamentales
Antes de sumergirnos en los cálculos, aclaremos las condiciones de nuestro experimento mental. Supondremos que:
- La Tierra es una esfera perfecta de densidad uniforme
- El túnel pasa exactamente por el centro del planeta
- No hay resistencia del aire ni fricción
- La Tierra no gira (de lo contrario las fuerzas de Coriolis complicarían el cuadro)
- De alguna manera el túnel no se colapsa por la presión
Sí, las condiciones son fantásticas. Pero son precisamente estas simplificaciones las que permiten llegar al fondo de las leyes físicas sin enredarse en detalles técnicos.
La gravedad dentro de la Tierra: una regularidad sorprendente
Aquí empieza lo más interesante. La mayoría de la gente supone intuitivamente que cuanto más profundo caemos, más fuerte es la atracción. ¡Tiene sentido: nos acercamos al centro de masa de la Tierra! Pero la física reserva una sorpresa.
Cuando se está dentro de una esfera, actúa la gravedad únicamente de la parte de la Tierra que está más cerca del centro que usted. Toda la masa "encima" de usted —entre su posición y la superficie— genera fuerzas gravitatorias que se compensan mutuamente.
Esto es consecuencia del teorema de Gauss para la gravedad. Matemáticamente se expresa así:
F = GMm·r/R³
Donde:
- F — fuerza gravitatoria
- G — constante gravitatoria (6,67 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²))
- M — masa de la Tierra (5,97 × 10²⁴ kg)
- m — su masa
- r — distancia desde el centro de la Tierra
- R — radio de la Tierra (6,37 × 10⁶ m)
Tenga en cuenta: la fuerza es proporcional a la distancia al centro. Esto significa que cuanto más profundo caiga, más débil será la atracción. En el mismo centro de la Tierra la gravedad es cero.
Matemática de la caída: sorprendente sencillez
Ahora apliquemos la segunda ley de Newton. La aceleración del cuerpo en caída será:
a = -GM·r/R³
El signo "menos" indica que la aceleración está dirigida hacia el centro de la Tierra. Pero lo más asombroso es que esta fórmula es idéntica a la ecuación del movimiento armónico simple.
Compárese con la ley de Hooke para un resorte: a = -kx/m. Aquí el papel de la "rigidez del resorte" lo desempeña la constante GM/R³.
Eso significa que su caída a través de la Tierra no es simplemente una caída, sino una oscilación armónica, como la de un péndulo o una masa en un resorte.
Cálculo del tiempo de caída
Para el movimiento armónico simple, el periodo completo de la oscilación es:
T = 2π√(R³/GM)
Sustituimos los valores conocidos:
- R = 6,37 × 10⁶ m
- G = 6,67 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²)
- M = 5,97 × 10²⁴ kg
Calculamos:
GM = 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ = 3,98 × 10¹⁴ m³/s²
R³ = (6,37 × 10⁶)³ = 2,59 × 10²⁰ m³
R³/GM = 2,59 × 10²⁰ / 3,98 × 10¹⁴ = 6,51 × 10⁵ s²
√(R³/GM) = 806 s
T = 2π × 806 = 5065 segundos ≈ 84,4 minutos
El tiempo de caída desde la superficie hasta el centro de la Tierra es una cuarta parte del periodo:
t = T/4 = 21,1 minutos
Viaje completo: ida y vuelta
Pero la historia no termina ahí. Cuando alcance el centro de la Tierra, su velocidad será máxima. Por inercia continuará hacia el lado opuesto del planeta.
La velocidad máxima en el centro de la Tierra se calcula a partir de la conservación de la energía:
v = √(2GM/R) ≈ 11 200 m/s
Esto es aproximadamente 1,4 veces la primera velocidad cósmica. No es de extrañar que pueda "dispararse" a través de todo el planeta.
Al desplazarse por inercia en la segunda mitad del túnel, se irá desacelerando gradualmente bajo la acción de la creciente gravedad. Exactamente 42,2 minutos después del inicio de la caída aparecerá en el lado opuesto de la Tierra.
¿Y luego qué? Si nadie lo atrapa al salir, volverá a caer. Obtendrá un péndulo perfecto con un periodo de 84,4 minutos.
Obstáculos reales: por qué es imposible
Por supuesto, en la realidad ese viaje terminaría de forma trágica en pocos segundos. Aquí están los problemas principales:
Temperatura
La temperatura en el centro de la Tierra alcanza entre 5000 y 6000 °C —casi como en la superficie del Sol. Se evaporaría mucho antes de llegar al núcleo.
Presión
En el centro de la Tierra la presión es de aproximadamente 360 GPa —unas 3,6 millones de veces la presión atmosférica. Cualquier material del túnel se colapsaría al instante.
Resistencia del medio
Incluso si hubiera aire en el túnel, la resistencia frenaría rápidamente la caída. A una velocidad máxima de 11 km/s la resistencia frontal sería colosal.
Rotación de la Tierra
La Tierra gira, y el efecto de Coriolis lo haría chocar constantemente con las paredes del túnel. Con un viaje de esa duración la desviación sería de decenas de kilómetros.
Escenarios alternativos: túneles oblicuos
Dato interesante: si el túnel no pasa por el centro de la Tierra, sino que une por una línea recta dos puntos cualesquiera de la superficie, el tiempo de viaje sigue siendo el mismo: 42,2 minutos.
Parece increíble, pero las matemáticas no engañan. Un túnel más corto implica una distancia menor, pero también una aceleración menor. Estos factores se compensan exactamente.
Imagine un metro del futuro: trenes por propulsión gravitatoria que le llevarían de Moscú a Vladivostok en 42 minutos sin gastar energía. Eso sí, las aceleraciones al acelerar y frenar harían ese viaje bastante extremo.
Relación con la mecánica orbital
Hay una bonita relación entre nuestro problema y la astronáutica. El tiempo de caída a través del diámetro de la Tierra (42,2 minutos) es igual a la mitad del periodo de una órbita circular en la superficie del planeta.
No es una coincidencia. Tanto la caída por el túnel como el movimiento orbital son manifestaciones de las mismas leyes gravitatorias. Matemáticamente se describen con ecuaciones parecidas.
Aplicaciones prácticas de la teoría
Aunque el túnel a través de la Tierra siga siendo una fantasía, comprender la gravedad dentro de los planetas tiene importancia práctica:
- Los geofísicos utilizan estos principios para estudiar la estructura interna de la Tierra
- Al planificar misiones a asteroides se tiene en cuenta la variación de la gravedad dentro de esos cuerpos
- Los ingenieros de ascensores espaciales deben entender cómo cambia la atracción a diferentes alturas
Conclusión: la belleza de las leyes físicas
El problema de la caída a través de la Tierra es un ejemplo magnífico de cómo fenómenos físicos complejos pueden describirse con fórmulas matemáticas elegantes. ¿Quién hubiera pensado que un viaje al centro del planeta resultara ser una oscilación armónica?
Esto nos recuerda que la naturaleza a menudo sorprende por su belleza matemática. Tras la aparente complejidad se esconden leyes sencillas y universales.
Y aunque lanzarse a un túnel real a través de la Tierra siga siendo un sueño inalcanzable, el hecho de que podamos calcular con precisión todos los detalles de ese viaje demuestra la potencia del método científico. La física nos permite explorar lo imposible y encontrar en ello patrones sorprendentes.
Así que la próxima vez que alguien le pregunte sobre caer a través del centro de la Tierra, podrá responder con seguridad: "42 minutos y 13 segundos en una dirección, más oscilaciones gratuitas como bono".
