En la vida cotidiana nos encontramos constantemente con las matemáticas: calculamos el cambio en la tienda, determinamos la propina en un restaurante, estimamos la cantidad necesaria de papel pintado para una renovación. Pero, por supuesto, sus encantos son mucho mayores y van mucho más allá de las simples operaciones aritméticas. ¿Cómo ayudan las matemáticas a resolver problemas realmente complejos, por ejemplo, en la búsqueda de medicamentos contra enfermedades peligrosas?
Matemática aplicada: puente entre la abstracción y la realidad
Los matemáticos aplicados usan el aparato matemático para estudiar y resolver problemas complejos en distintas áreas de la ciencia. Trabajan en problemas relacionados con redes génicas y neuronales, estudian la interacción entre células y los procesos de toma de decisiones. La modelización matemática es una herramienta clave en su arsenal.
¿Qué es eso? El proceso de describir una situación real en el lenguaje de las matemáticas. Incluso un simple problema aritmético sobre la velocidad de trenes o el coste de productos es un ejemplo de modelización matemática. Sin embargo, para cuestiones más complejas, incluso expresar la situación real en forma de problema ya es una tarea difícil.
Veamos algunos ejemplos para entender mejor la esencia.
Sudoku a través de la matemática
Imagine que queremos describir el juego del sudoku matemáticamente. En el sudoku el jugador rellena las casillas vacías con números del 1 al 9, siguiendo reglas determinadas. ¿Cómo podemos representarlo matemáticamente?
Supongamos que la variable x representa el número que hay que colocar en una casilla vacía. Podemos garantizar que x está entre 1 y 9 usando la ecuación:
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) = 0
Esta ecuación es verdadera solo cuando x toma un valor entero entre 1 y 9. Así codificamos una de las reglas del sudoku en forma matemática.
Sin embargo, esto es solo una parte del rompecabezas. También hay que tener en cuenta las reglas básicas del sudoku: cada número debe aparecer solo una vez en cada fila, columna y en cada uno de los nueve bloques 3x3. Para ello podemos usar ecuaciones adicionales. Por ejemplo, para una fila podemos escribir:
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 + x_9 = 45
donde x_1, x_2, ..., x_9 son los números en las casillas de una fila. La suma es 45 porque es la suma de los números del 1 al 9. Ecuaciones análogas se pueden formular para cada columna y para cada bloque 3x3.
Además, para tener en cuenta las casillas ya rellenas en la configuración inicial del rompecabezas, añadimos ecuaciones del tipo x_i = a, donde a es el valor conocido en la i-ésima casilla. Combinando todas estas ecuaciones obtenemos el modelo matemático completo del sudoku: un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará el rompecabezas resuelto.
Concentración de un medicamento en la sangre: un modelo dinámico
Ahora un caso más complejo: modelizar la concentración de un medicamento, por ejemplo la aspirina, en el torrente sanguíneo de una persona. En este caso tratamos con un sistema dinámico en el que los parámetros cambian con el tiempo. Hay que crear un conjunto de ecuaciones que describan cómo cambia la concentración de aspirina en el organismo teniendo en cuenta su administración y su metabolismo.
Al construir el modelo hay que considerar varios procesos clave: la absorción (paso del medicamento al torrente sanguíneo), la distribución por el organismo, el metabolismo y la eliminación del fármaco. Cada uno de estos procesos influye en la concentración en sangre de manera diferente. Por ejemplo, la absorción aumenta la concentración, mientras que el metabolismo y la eliminación la reducen.
Para describir estos procesos se usan ecuaciones diferenciales. El modelo más sencillo puede tener la forma dC/dt = -kC, donde C es la concentración del medicamento, t es el tiempo y k es una constante que caracteriza la velocidad de eliminación del fármaco. Modelos más complejos tienen en cuenta la distribución del medicamento entre distintas partes del cuerpo y pueden incluir varios ecuaciones.
Resolver estas ecuaciones permite obtener curvas de cómo varía la concentración de aspirina con el tiempo. Con esos datos, médicos y farmacólogos pueden determinar dosis y regímenes de administración óptimos que aseguren un tratamiento eficaz con efectos secundarios mínimos. De este modo, la modelización matemática se convierte en una herramienta importante en el desarrollo de nuevos fármacos y esquemas terapéuticos.
Dificultades de la modelización: el ejemplo del cáncer
Cuando pasamos a problemas aún más complejos, como modelizar el desarrollo del cáncer, el proceso se vuelve mucho más complicado. Surgen muchas preguntas:
«¿Es suficiente modelizar solo el tamaño y la forma del tumor?»
«¿Hay que tener en cuenta cada vaso sanguíneo dentro del tumor?»
«¿Deberíamos modelizar cada célula individual?»
«¿Qué pasa con los procesos químicos dentro de las células?»
«¿Cómo incorporar factores que aún desconocemos?»
Los matemáticos aplicados se enfrentan a un desafío serio: encontrar un equilibrio entre el realismo del modelo y su utilidad práctica. El modelo debe ser lo bastante detallado para reflejar los aspectos importantes del fenómeno estudiado, pero no tan complejo que sea imposible de usar en la práctica.
Crear estos modelos es un proceso largo que requiere colaboración estrecha entre matemáticos y científicos experimentales. Es interesante que el propio proceso de construir el modelo a menudo conduce a nuevos descubrimientos en el área estudiada, aunque el modelo final aún no exista.
De la modelo a la solución: aplicación del aparato matemático
Una vez creado el modelo matemático, el siguiente paso es resolver el problema matemático resultante. Aquí entran en juego distintas áreas de las matemáticas, tanto clásicas como modernas:
- El álgebra ayuda a trabajar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones
- El análisis matemático es indispensable para procesos y funciones continuas
- La combinatoria resulta útil para problemas con valores discretos
- La teoría de la probabilidad y la estadística ayudan a tener en cuenta factores aleatorios e incertidumbres
A menudo, para resolver problemas aplicados complejos se requiere una combinación de varias disciplinas matemáticas. Es en esta etapa donde se manifiesta todo el poder de las matemáticas acumuladas por la humanidad durante milenios.
Tomemos, por ejemplo, el problema de optimizar rutas de entrega en logística. Aquí se pueden aplicar métodos de teoría de grafos para representar la red vial, programación lineal para minimizar costes y elementos de teoría de la probabilidad para considerar posibles retrasos. Y si añadimos la replanificación dinámica de rutas en tiempo real, también serán necesarios métodos de aprendizaje automático.
Interpretación de los resultados: regreso al mundo real
La etapa final de la modelización matemática es traducir la solución matemática obtenida de nuevo al contexto del problema original. Por ejemplo:
- Para el sudoku, la solución del sistema de ecuaciones nos dará los números que hay que escribir en cada casilla del rompecabezas.
- En el caso de la concentración de aspirina, el resultado será un conjunto de gráficos que muestran cómo cambia la cantidad de fármaco en distintas partes del organismo con el tiempo.
- Esta etapa requiere un conocimiento profundo tanto del aspecto matemático como del campo científico al que pertenece el problema inicial.
Cuando la matemática existente no es suficiente
A pesar del enorme aparato matemático acumulado, la realidad a menudo reserva sorpresas. Con frecuencia resulta que para resolver el modelo planteado no existen métodos conocidos. En algunos casos la matemática necesaria simplemente aún no se ha desarrollado.
No linealidad en los sistemas biológicos
Volvamos al ejemplo de la modelización del cáncer. Una de las principales dificultades en este campo es la no linealidad de las interacciones entre genes, proteínas y sustancias químicas en las células. La no linealidad significa que el efecto de dos influencias no equivale a la suma simple de los efectos individuales.
Para resolver tales problemas los matemáticos desarrollan nuevos enfoques. Por ejemplo:
- La teoría de redes booleanas ayuda a modelizar interacciones complejas en redes génicas
- El álgebra polinómica proporciona herramientas para trabajar con sistemas no lineales
Estos y otros métodos modernos permiten estudiar procesos complejos como la toma de decisiones a nivel celular, la diferenciación celular e incluso la regeneración de extremidades en algunos animales.
Es interesante que, al abordar problemas aplicados no resueltos, la línea que separa la matemática pura de la aplicada suele difuminarse. Áreas de las matemáticas que en su día se consideraron demasiado abstractas y alejadas de la práctica resultan ser precisamente lo que se necesita para resolver problemas actuales.
Investigaciones teóricas que parecían puramente académicas pueden convertirse mañana en la base para soluciones aplicadas y en herramientas para abordar los problemas reales más difíciles.
