Homero Simpson derriba un teorema de Fermat de 350 años: la fórmula en su pizarra «prueba» lo imposible y hasta engaña a las calculadoras

Homer Simpson difícilmente parece ser alguien capaz de intervenir en uno de los debates matemáticos más famosos de la historia. Pero en el episodio "The Wizard of Evergreen Terrace" los creadores de Los Simpson escondieron en una pizarra una fórmula que, a primera vista, hace lo imposible: aparentemente refuta el último teorema de Fermat. Algunos podrían pensar que en la pizarra hay un galimatías (al fin y al cabo es solo un dibujo animado), pero tras unos pocos dígitos hay una historia real de más de 350 años.

La serie se emitió en 1998. En el argumento Homer atraviesa una crisis de mediana edad y compara dolorosamente su vida con la biografía de Thomas Edison. El inventor dejó tras de sí la bombilla incandescente, el fonógrafo y numerosas patentes, y Homer... Bueno, ya sabemos. Por eso decide convertirse en el nuevo Edison, se encierra en el sótano y empieza a idear sus propios grandes inventos.

En uno de los fotogramas Homer está frente a una pizarra llena de anotaciones. Junto a los bocetos de donas aparece una extraña igualdad: 3987¹² + 4365¹² = 4472¹². Para la mayoría de espectadores es solo un conjunto de números grandes y potencias. Pero un matemático ve de inmediato el problema: si la igualdad fuera cierta, destruiría uno de los teoremas más conocidos de las matemáticas.

Para entender de qué se trata hay que comenzar con la sencilla ecuación: xⁿ + yⁿ = zⁿ. Para n = 1 todo funciona sin condiciones especiales. Se pueden tomar cualesquiera enteros positivos x e y, sumarlos y obtener un entero positivo z. Por ejemplo, 3 + 6 = 9.

Para n = 2 obtenemos la conocida fórmula de la geometría escolar: x² + y² = z². Así se expresa el teorema de Pitágoras. Describe un triángulo rectángulo donde la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Pero incluso aquí los enteros x e y no siempre producen un z entero. Si se toman 1 y 2, se obtiene 1² + 2² = 5. El número 5 no es el cuadrado de un entero, por lo que la longitud de la hipotenusa no será entera.

Para n = 3 hay que encontrar tres números enteros positivos que satisfagan la igualdad x³ + y³ = z³. En lenguaje corriente la pregunta es así: ¿es posible sumar los volúmenes de dos cubos con aristas enteras y obtener el volumen de un tercer cubo cuya arista también sea entera? El último teorema de Fermat afirma que no. Lo mismo es cierto para cualquier exponente mayor que 2.

Pierre de Fermat observó esta regularidad en el siglo XVII. El matemático francés escribió en el margen del libro de Diofanto de Alejandría que había encontrado una demostración: la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene soluciones en enteros positivos si n es mayor que 2. Fermat no dejó la propia demostración. Más tarde los matemáticos examinaron casi todas sus notas similares, pero precisamente este problema perduró más que los demás y se consolidó en la historia.

Durante más de 350 años los matemáticos intentaron cerrar esa laguna. La solución llegó solo en 1994, cuando el matemático británico Andrew Wiles completó la demostración. Tuvo que adentrarse mucho más allá del álgebra escolar. Wiles no eligió números ni intentó revisar directamente todas las combinaciones de x, y y z. La demostración se basó en curvas elípticas y formas modulares: ramas avanzadas de la matemática que relacionan ecuaciones, geometría y simetrías. El aparato necesario apareció solo en el siglo XX, por eso Fermat en el siglo XVII no podía razonar con el mismo lenguaje. Debido a ello, la vieja nota en el margen mantiene la pregunta: ¿se equivocó Fermat, bromeó, sobrevaloró su idea o realmente vio un camino más simple que después nadie logró reconstruir?

El trabajo de Wiles fue revisado con especial rigor. La demostración empleó métodos nuevos, y esos métodos volvieron luego con frecuencia a la matemática y ayudaron a encontrar otras conexiones entre objetos complejos. Por eso la confianza en el resultado no se apoya solo en la autoridad del autor, sino en la verificación durante años del enfoque por parte de especialistas. En 2016 Wiles recibió el Premio Abel, una de las principales distinciones en matemáticas. Para la historia de la pizarra de Homer esto significa una cosa sencilla: no debe existir una solución verdadera a la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ en enteros positivos cuando n es mayor que 2.

Por eso la anotación en la pizarra de Homer resulta tan graciosa. En la igualdad 3987¹² + 4365¹² = 4472¹² el exponente es 12, por lo que la fórmula entra directamente en la prohibición del teorema de Fermat. Los tres números son enteros, la expresión parece ordenada y una calculadora corriente incluso muestra que el lado izquierdo y el derecho coinciden. El truco no está en el teorema, sino en el redondeo. Los números 3987¹², 4365¹² y 4472¹² son enormes: en los cálculos aparecen valores con unas 44 cifras. Una calculadora doméstica suele mostrar solo las primeras 10 cifras y descarta el resto. Por efecto del redondeo dos cantidades distintas parecen iguales. Un cálculo informático más preciso muestra de inmediato que 3987¹² + 4365¹² no es igual a 4472¹².

Los guionistas de Los Simpson no pusieron esa fórmula al azar. Entre los guionistas de la serie había muchas personas con conocimientos de matemáticas, física e informática. Tras la broma sobre el teorema de Fermat estuvo David Cohen. Él escribió expresamente un programa que buscaba valores casi coincidentes. Hacía falta una fórmula que no violara las leyes matemáticas y que engañara bien a una calculadora corriente.

El teorema de Fermat tampoco fue elegido al azar. Durante sus estudios Cohen asistió a las conferencias del matemático Ken Ribet, cuyos trabajos ayudaron a preparar la demostración de Wiles. Así que la pizarra de Homer es, sin duda, un huevo de Pascua matemático.