¿Puede la IA humanizar las matemáticas? Parece absurdo, pero eso es justamente lo que está ocurriendo ahora.

Los matemáticos están acostumbrados a abordar las nuevas herramientas con cautela. Las computadoras tampoco ocuparon inmediatamente un lugar importante en la investigación: se necesitaron años antes de que los métodos computacionales empezaran a transformar ramas enteras de la ciencia. Hoy la inteligencia artificial sigue un camino similar. Las redes neuronales ya buscan patrones ocultos en datos matemáticos complejos, ayudan a formular conjeturas, encuentran teoremas relevantes en trabajos antiguos y prueban resolver problemas que nunca vieron durante el entrenamiento.

Los primeros experimentos comenzaron en 2017 y estuvieron relacionados con la teoría de cuerdas. Los investigadores usaron una red neuronal bastante simple para los estándares actuales y la alimentaron con datos sobre variedades Calabi–Yau. Así se denominan los complejos espacios geométricos multidimensionales que desempeñan un papel importante en algunos modelos de la teoría de cuerdas. Según esos modelos, las dimensiones espaciales adicionales pueden estar compactificadas a escalas tan pequeñas que resulta imposible observarlas directamente.

A la red neuronal se le planteó una tarea concreta: determinar propiedades topológicas de las variedades Calabi–Yau. La topología estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan ante deformaciones continuas. El modelo no conocía las definiciones de los manuales, no había estudiado geometría ni recibido reglas prefijadas para encontrar la respuesta. El algoritmo trabajaba con datos numéricos y buscaba de forma autónoma relaciones estables entre rasgos.

El resultado fue sorprendentemente bueno. La red neuronal predijo con alta precisión ciertas características de las variedades. No se puede hablar de comprensión humana de la geometría: el algoritmo no explicaba el significado matemático de las dependencias halladas. El experimento mostró otra cosa. En grandes conjuntos de datos matemáticos existen patrones que el aprendizaje automático es capaz de descubrir sin una teoría escrita de antemano.

Para la teoría de cuerdas una herramienta así resulta especialmente interesante por la enorme cantidad de configuraciones geométricas posibles. Uno de los retos más complejos del campo es encontrar un modelo que pudiera describir el Universo observado. El resultado depende, entre otras cosas, de la geometría de las dimensiones compactificadas adicionales, y las variantes posibles de las variedades Calabi–Yau son extremadamente numerosas. Comprobar cada configuración manualmente o mediante un muestreo exhaustivo resulta muy difícil.

El aprendizaje automático permite buscar de otra manera. El algoritmo analiza grandes conjuntos de ejemplos conocidos, identifica rasgos característicos y ayuda a localizar las áreas donde conviene continuar los cálculos. Tras los primeros experimentos exitosos, otros grupos empezaron a aplicar métodos similares y el aprendizaje automático pronto trascendió la tarea concreta de la teoría de cuerdas.

Pronto los investigadores se interesaron por una pregunta más general. Si una red neuronal encuentra una estructura oculta en datos sobre objetos geométricos complejos, ¿por qué no intentar el mismo enfoque en otras ramas de las matemáticas? En los años siguientes se empezó a probar el aprendizaje automático en geometría algebraica, teoría de números, combinatoria, geometría diferencial y teoría de representaciones. Esta última estudia las maneras de describir objetos algebraicos abstractos mediante construcciones matemáticas más manejables, como matrices y transformaciones lineales.

Los físicos aceptaron los métodos computacionales con mucha más calma que los matemáticos. La física experimental moderna trabaja desde hace tiempo con enormes volúmenes de medidas, modelado y análisis estadístico, por lo que el aprendizaje automático encajó bien en una práctica ya existente. Los algoritmos de aprendizaje automático se aplicaron en la física de altas energías mucho antes del actual auge de la IA generativa.

En las matemáticas puras las exigencias son distintas. Una respuesta correcta suele ser insuficiente: hace falta demostrar de forma rigurosa por qué el resultado es válido. Una red neuronal puede detectar una pauta entre miles o millones de ejemplos, pero una relación estadísticamente convincente no se transforma automáticamente en teorema. Al matemático le toca entender la causa del efecto descubierto, formular una afirmación precisa y construir la demostración.

Al mismo tiempo, la inteligencia artificial ya aporta beneficios incluso antes de resolver teoremas por completo. Muchas ramas de las matemáticas usan terminología, notaciones y métodos propios. Un especialista en teoría analítica de números y uno en ecuaciones diferenciales parciales pueden ocuparse de problemas relacionados, pero describen las cuestiones con lenguajes tan distintos que la colaboración exige una inmersión prolongada en la disciplina ajena.

Los datos ofrecen a los investigadores una base común para el diálogo. Se puede discutir un conjunto de objetos matemáticos, rasgos, predicciones del modelo, errores y patrones sin empezar por aprender en detalle toda la terminología de la disciplina vecina. En ese esquema, el algoritmo ayuda a notar la relación y el matemático decide qué explicación rigurosa se esconde tras la dependencia encontrada.

La búsqueda de patrones fue la primera etapa. El siguiente objetivo es mucho más difícil: comprobar si la IA es capaz de afrontar por sí sola problemas de nivel de investigación y construir demostraciones correctas. Evaluar esa habilidad con ejemplos ya conocidos resulta complicado, porque los grandes modelos de lenguaje se entrenan con enormes cantidades de libros, artículos, sitios web y otros textos. Si una tarea se ha publicado alguna vez, no se puede afirmar con seguridad si el modelo halló la solución por sí mismo o simplemente reprodujo material conocido.

El proyecto FrontierMath intenta eliminar esa incertidumbre. Para probar la IA los matemáticos preparan problemas complejos que antes no existían en la literatura abierta y, a la vez, encuentran de antemano las soluciones correctas. El modelo no debe tener acceso a las formulaciones ni a las respuestas durante el entrenamiento, por lo que una solución exitosa resulta mucho más difícil de atribuir a la simple memorización.

La fase cuatro de FrontierMath fue especialmente inusual y tuvo lugar en el verano de 2025. Treinta matemáticos pasaron varios días en un recinto cerrado y elaboraron nuevos problemas de investigación. A los participantes se les prohibió sacar las formulaciones al exterior, para evitar que la pregunta apareciera por accidente en internet y entrara en los datos accesibles a la IA. Todos los asistentes firmaron acuerdos de confidencialidad.

El trabajo supuso un coste notable para los autores de las cuestiones. Un nuevo problema difícil junto con su solución podría convertirse en una publicación científica independiente. Sin embargo, los materiales de FrontierMath debían mantenerse en secreto; de lo contrario la prueba perdería sentido. Los matemáticos renunciaron conscientemente a la posibilidad de publicar parte de los resultados en beneficio de un experimento puro.

A la IA se le dio alrededor de un mes para trabajar con el conjunto preparado. Según la estimación de uno de los participantes del proyecto, los modelos resolvieron aproximadamente el 10 % de las tareas. Ese porcentaje no es comparable con los resultados de un examen habitual o de una olimpiada matemática. Las cuestiones las elaboraron adrede investigadores profesionales, y las formulaciones debían ser nuevas y lo bastante difíciles como para excluir la simple reproducción de soluciones conocidas.

La quinta fase de FrontierMath eleva aún más el listón. Ahora la evaluación abarca problemas matemáticos abiertos de importancia. La diferencia es fundamental: en una prueba preparada el autor conoce la respuesta, mientras que en un problema abierto no existe una solución aceptada hasta el momento. Si la IA encuentra un resultado nuevo y construye una demostración rigurosa verificable por otros matemáticos, el trabajo podría aspirar a un resultado científico de pleno derecho.

Incluso una demostración exitosa no eliminará al ser humano de la investigación matemática. Hay que elegir los problemas, valorar la importancia del resultado, buscar conexiones con otras áreas y evaluar las consecuencias de una nueva teorema. Una afirmación formalmente correcta puede resultar poco significativa, estar ya conocida en otra formulación o ser interesante solo bajo condiciones adicionales. Comprobar el sentido y el valor científico exige mucho más que obtener una secuencia de símbolos correcta.

Los modelos de lenguaje ya desempeñan otra función práctica, menos visible pero útil en el trabajo cotidiano. La IA puede buscar conocimientos dentro de un enorme corpus de literatura matemática según el sentido de una pregunta y no solo por coincidencias de palabras clave. Los buscadores habituales funcionan bien cuando el investigador conoce el apellido del autor, el título del artículo o el término exacto. Una cuestión investigadora concreta a menudo se formula con palabras distintas de las que usó el autor relevante hace décadas.

Un buen ejemplo está relacionado con el grupo Monstruo. Así se denomina el mayor de los 26 grupos simples finitos esporádicos, objetos algebraicos raros que no pertenecen a familias infinitas de grupos simples. Un especialista tenía una pregunta muy concreta sobre propiedades del Monstruo, y los colegas no encontraron una respuesta lista de inmediato.

El modelo de lenguaje encontró el resultado necesario en un teorema oculto en lo profundo de un trabajo matemático antiguo. Una búsqueda convencional podría haber pasado por alto la fuente, porque la formulación moderna de la pregunta y la terminología de la obra antigua no tienen por qué coincidir. Para la red neuronal lo más importante es la conexión semántica entre la consulta y el contenido del documento.

Esa clase de búsqueda resuelve un problema práctico antiguo en matemáticas. La literatura científica se acumula durante décadas, y un resultado importante puede estar no en un artículo conocido con un título apropiado, sino en alguna página de una monografía antigua. Ninguna persona puede leer todo el conjunto de trabajos publicados y recordar cada teorema. Un modelo de lenguaje puede vincular una pregunta moderna con un resultado antiguo, incluso si los autores emplearon notaciones y términos distintos.

La siguiente comprobación de las capacidades de la IA ya no se reduce a reconocer patrones o a buscar trabajos antiguos. FrontierMath pasó a problemas abiertos, donde no existe una respuesta conocida ni siquiera para los organizadores de la prueba. Si el modelo logra al menos una tarea significativa y produce una demostración que supere la verificación rigurosa de matemáticos profesionales, el experimento ofrecerá una respuesta mucho más contundente a la pregunta de si la inteligencia artificial puede adquirir nuevo conocimiento matemático.