Un rompecabezas geométrico de un siglo: qué esconden los diagramas de Venn

En su libro El universo matemático, William Dunham hace una curiosa valoración del legado de John Venn, el lógico y filósofo inglés que vivió hace más de un siglo. Según Dunham, ningún matemático en la historia de la ciencia ha ganado tanta fama con una contribución tan modesta como el creador de los famosos diagramas de círculos superpuestos, conocidos como diagramas de Venn. Sin embargo, esta afirmación subestima la importancia de un invento que ha trascendido los libros escolares para establecerse en la infografía, las publicaciones científicas e incluso los memes de Internet.

Detrás de la simplicidad de los diagramas de Venn se esconden sorprendentes paradojas geométricas. Una de ellas se relaciona con una limitación fundamental: es imposible dibujar un diagrama correcto con cuatro círculos que refleje todas las combinaciones posibles de conjuntos. Este hecho, descubierto por el propio Venn, marcó el inicio de investigaciones matemáticas que continúan hasta hoy.

Venn presentó su invención al mundo científico en 1880 como una herramienta para representar conceptos lógicos de manera visual. Más tarde, los diagramas encontraron aplicaciones en la teoría de conjuntos, un campo de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de diferentes grupos de objetos. Su principio es intuitivo: cada círculo representa un conjunto, como "juguetes suaves" o "musicales de Broadway", y las intersecciones muestran elementos que pertenecen a varias categorías, como "gatos" en el cruce de "peludos" y "mascotas".

La efectividad del método se aprecia en problemas como decidir qué invitados llevar a una fiesta, considerando sus afinidades y antipatías. Por ejemplo: Wilma solo asistirá si va Fred. Barney requiere al menos otro invitado. Pero Barney no irá si está Wilma, a menos que también estén Fred y él. Esas condiciones pueden parecer confusas en texto, pero en un diagrama se aclaran, ya que cada restricción elimina ciertas combinaciones.

Al intentar crear un diagrama para cuatro conjuntos, los matemáticos se enfrentaron a un obstáculo inesperado. En esta configuración, no es posible destacar regiones donde solo se crucen A y C o B y D sin incluir otros conjuntos. No importa cómo se organicen los círculos; el problema es inherente a la geometría de diagramas de cuatro círculos.

El fundamento matemático de este fenómeno radica en las leyes de la geometría. Un círculo divide un plano en dos zonas: interior y exterior. Al añadir un segundo círculo, el número de combinaciones se duplica, exigiendo más áreas. Para cumplirlo, el segundo círculo debe cruzar al primero en exactamente dos puntos.

Con la tercera adición, se generan cuatro áreas nuevas gracias a las seis intersecciones entre los tres círculos. Sin embargo, al agregar un cuarto círculo, surgen inconsistencias: se necesitan ocho áreas nuevas, pero geométricamente solo son posibles seis intersecciones adicionales.

Para superar este problema, Venn propuso usar elipses. Estas figuras permiten hasta cuatro puntos de intersección entre dos líneas, posibilitando diagramas correctos para cuatro y cinco conjuntos. Sin embargo, este método también tiene límites: al aumentar el número de conjuntos, las elipses dejan de ser útiles.

Otra solución sería utilizar figuras más complejas, como curvas sinuosas en un esquema de tres círculos, o incluso pasar al espacio tridimensional y emplear esferas. Pero estas alternativas sacrifican la claridad y simplicidad que hacen de los diagramas de Venn una herramienta tan efectiva.

Durante años, incluso el propio Venn y sus seguidores consideraron imposible crear un diagrama simétrico para cinco conjuntos. No fue hasta 1975 que Branko Grünbaum refutó esta idea al presentar una configuración con 32 áreas.

El diseño de Grünbaum tiene una propiedad notable: al girarlo una quinta parte de un círculo completo, la figura se superpone perfectamente a sí misma. Esta simetría rotacional también está presente en los diagramas clásicos: los de dos círculos al girarlos 180 grados, y los de tres al rotarlos 120 grados. Sin embargo, los de cuatro elipses carecen de esta simetría.

En 1960, David W. Henderson, un estudiante de primer año en el Swarthmore College, hizo un descubrimiento inesperado: los diagramas simétricos de Venn solo pueden construirse para un número primo de conjuntos, es decir, números divisibles solo por sí mismos y por uno. Esto explica por qué es posible la simetría para dos, tres y cinco conjuntos, pero no para cuatro.

El hallazgo de Henderson inspiró una competencia entre matemáticos para crear diagramas simétricos para números primos más grandes. Destaca el trabajo de Peter Hamburger, quien diseñó una elegante configuración para 11 conjuntos.

El legado de Venn demuestra cómo un enfoque aparentemente simple para visualizar conceptos puede generar problemas matemáticos complejos que combinan lógica, geometría y teoría de conjuntos. Su estudio no solo revela nuevas facetas de la armonía matemática, sino que también muestra conexiones inesperadas entre diferentes ramas de la ciencia.