Matemáticas en un callejón sin salida — la física encontró la salida: cómo la teoría de cuerdas salvó a la geometría algebraica tras medio siglo de estancamiento

En la comunidad matemática se desata la discusión tras la publicación de una prueba inesperada relativa a uno de los problemas clave de la geometría algebraica. Un equipo dirigido por el galardonado con la Medalla Fields, Maxim Kontsevich, afirma que ha logrado avances en la clasificación de polinomios de tercer grado con cinco variables —un área en la que no se había conseguido un avance durante décadas. Lo distintivo de este trabajo es el uso de métodos tomados de la teoría de cuerdas, los cuales antes se consideraban completamente inaplicables a este tipo de problemas.

Los polinomios son la base de la geometría algebraica. Sus soluciones pueden representarse como objetos geométricos: curvas, superficies y formas multidimensionales más complejas. Para ecuaciones de primer y segundo grado existe una parametrización racional, es decir, una forma de expresar todas las soluciones mediante una variable. Pero a partir del tercer grado la situación cambia: no todas esas ecuaciones se pueden parametrizar.

A comienzos de la década de 1970, Herbert Clemens y Phillip Griffiths demostraron que los polinomios cúbicos en cuatro variables, denominados variedades tridimensionales, no son parametrizables. No obstante, los métodos empleados en su trabajo no servían para la siguiente categoría: las ecuaciones con cinco variables que forman variedades de dimensión cuatro. Durante muchos años ese problema quedó estancado.

El cambio se produjo cuando Maxim Kontsevich accedió a considerar la idea de su colega Lyudmila Katsarkova, quien propuso que la llamada simetría espejo —un concepto surgido en la física de partículas— podría ser de ayuda. La idea central es que las propiedades de una variedad se pueden deducir estudiando su «reflejo» o espejo. El equipo decidió utilizar el recuento de ciertas curvas en la propia variedad (y no en su espejo, como se había supuesto antes) para descomponer su estructura de Hodge, un objeto algebraico que contiene información clave sobre las soluciones.

En una conferencia en Moscú en 2019, Kontsevich presentó este enfoque y, aunque entonces aún no existía una fórmula concreta, las expectativas sobre una futura prueba eran altas. Posteriormente se incorporó al equipo Tony Yue Yu, cuyas capacidades computacionales desempeñaron un papel decisivo. En pleno confinamiento, el trabajo conjunto en un casi vacío Institut des Hautes Études Scientifiques en Francia aceleró el progreso. Más tarde, la fórmula necesaria, que describe transformaciones de fragmentos atómicos de la estructura de Hodge, fue desarrollada por el matemático japonés Hiroshi Iritani, inspirado por la exposición de Kontsevich.

Finalmente, en el verano de 2023 la fórmula se adaptó a las necesidades del equipo y completaron la demostración. Esta mostró que, entre todas las posibles formas de transformación, siempre existe al menos un elemento de la estructura que no puede reducirse a una forma simple. Eso implica que las soluciones de tales ecuaciones poseen una estructura interna compleja y no se someten a una parametrización racional.

La reacción de la comunidad matemática ha sido mixta. Algunos califican el trabajo de fundamental y ya han empezado a explorar nuevos enfoques; otros observan con cautela métodos que parecen demasiado exóticos. Miembros de diversas universidades de todo el mundo organizan seminarios para analizar la demostración, pero muchos reconocen que la obra requiere tiempo para su plena comprensión.

No obstante, incluso los escépticos admiten que, si el resultado se confirma, será el mayor logro en la clasificación de polinomios de las últimas décadas. Además, la prueba refuerza la posición del programa de la simetría espejo, desarrollado por Kontsevich a lo largo de décadas. Aunque aún no exista una formulación definitiva de esa teoría, este trabajo constituye un argumento contundente a su favor.