Cinco puntos, diez líneas y una prohibición insuperable: un sencillo rompecabezas oculta una ley férrea de la geometría.

Se pueden unir cinco puntos con diez segmentos de modo que haya solo cinco direcciones distintas. Para eso basta colocar los puntos en los vértices de un pentágono regular y trazar todas sus diagonales. Pero lo más interesante del acertijo geométrico no es el dibujo bonito, sino la imposibilidad de reducir el número de direcciones a cuatro, por ingenioso que sea el arreglo de los puntos.

Imagine cinco puntos en una hoja de papel. Hay que unir cada par de puntos, pero disponerlos de modo que el mayor número posible de segmentos sea paralelo entre sí. Las líneas paralelas se cuentan como una sola dirección, aunque estén lejos entre sí. Hay una restricción: no debe haber tres puntos sobre la misma recta.

Si se colocan los puntos al azar, probablemente los diez segmentos tendrán inclinaciones distintas. Pero si se dibuja un pentágono regular, la situación cambia. Los cinco lados de la figura siguen cinco direcciones distintas, y cada diagonal resulta ser paralela a alguna de las aristas. Así se obtienen cinco pares de segmentos paralelos en lugar de diez direcciones únicas.

¿Por qué no es posible lograr un número menor? Para entenderlo no hacen falta cálculos complicados. Tomemos el punto más bajo del dibujo y tracemos desde él cuatro segmentos hacia los demás. Los cuatro tendrán inclinaciones diferentes, porque dos direcciones coincidentes implicarían que tres puntos están sobre la misma recta.

Ahora encontremos los dos segmentos extremos que parten del punto inferior, el situado más a la izquierda y el más a la derecha, y unamos sus extremos superiores. La nueva línea no puede ser paralela a ninguno de los cuatro segmentos. La geometría del triángulo obliga a que tenga otra inclinación. Por tanto, la quinta dirección es inevitable, sea cual sea la disposición de los puntos.

Es curioso que la regla funcione también para figuras más complejas. Si se toma cualquier número de puntos, a partir de tres, y no se permite que tres estén sobre la misma recta, el número mínimo de direcciones siempre será igual al número de puntos. Los matemáticos demostraron que los polígonos regulares permiten alcanzar ese límite. En las figuras con un número par de vértices los segmentos paralelos se distribuyen de forma algo distinta, pero el principio se mantiene.

Surge una paradoja interesante: cuanto más puntos hay, más rápido crece el número de conexiones entre ellos, sin embargo el número de direcciones necesarias aumenta mucho más despacio. Para cinco puntos se necesitan diez segmentos, para seis ya quince, y para diez nada menos que cuarenta y cinco. Pero si se elige bien la disposición, bastarán respectivamente cinco, seis y diez direcciones.